% ----------------------------------------------------------------

%\section{Einleitung}

%\begin{frame}{Titel}{Untertitel}
%	Inhalt \cite{vickrey1961counterspeculation}
%\end{frame}

% ----------------------------------------------------------------

\section{Part II}
\subsection{Überblick}
\begin{frame}{Überblick}

\begin{ziel}
Hinreichende Bedingung für ``VCG ist False-Name-Proof''
\end{ziel}
\pause
\begin{itemize}
	\item Benötigte Definitionen
	\begin{itemize}
		\item Überschussfunktion
		\item Vickrey-Clarke-Groves (VCG) Mechanismus
		\item Konkavität der Überschussfunktion
	\end{itemize}
	\pause
	\item Überschussfunktion ist Konkav$\Rightarrow$VCG ist False-Name-Proof
	\pause
	\begin{itemize}
		\item Konkavität $\Rightarrow$ Bieten mit einem Bezeichner ist Vorteilhaft:
		\begin{itemize}
			\item gegenüber zwei Bezeichnern
			\item gegenüber beliebig vielen Bezeichnern
		\end{itemize}
		\pause
		\item $\Rightarrow s^*(\theta_i,\phi(i))= (\theta_i, 0, \cdots)$ ist dominant 
		\pause
		\item $\Rightarrow$ VCG ist False-Name-Proof
	\end{itemize}
\end{itemize}
		
	

\end{frame}

% ----------------------------------------------------------------
\subsection{Überschussfunktion}

\begin{frame}
\begin{symbole}
$A :=$ Menge aller Güter

$B \subseteq A,$ Teilmenge der Güter

\pause
$\theta := (\theta_{y1}, \theta_{y2}, \cdots)$ Abgegebene Gebote

$Y := \{(y_1, \theta_{y1}), \cdots\}$ Menge der Bieter und ihrer Gebote
\pause

$k(\theta) := (k_0, k_{y_1}, \cdots)$ Allokation (Partition) der Güter

$K_{B,Y} := $ Menge aller möglichen Allokationen

\pause
$v(k,\theta_{y_i}) :=$ Wert der ersteigerten Güter für Bieter $y_i$
\end{symbole}

\pause
\begin{Überschussfunktion}

$U(B,Y) = \max\limits_{k \in K_{B,Y}} \left( \sum\limits_{(y_i,\theta_{y_i}) \in Y} v(k_{y_i}, \theta_{y_i}) \right)$

(für $B=A$ schreibe $U_A(Y)$)
\end{Überschussfunktion}

\end{frame}
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